处理效应异质性与最佳个性化变量

二元处理变量

假设我们有一个助推处理 nudge，例如发放优惠券、免费试用、首单折扣。我们希望知道哪些人最应该收到这个处理。

数据中有两个处理前特征：

• age：年龄。
• income：收入。

设定中有一个连续的潜在结果，例如用户的购买倾向、产品偏好、内在效用，记为 $S$。这个潜在结果越高，用户越可能转化。

一个简化的数据生成过程可以写成：

其中：

• $A$ 表示年龄。
• $I$ 表示收入。
• $\varepsilon$ 是随机扰动。
• $S(0)$ 是没有助推时的潜在结果。
• $S(1)$ 是有助推时的潜在结果。
• $\delta(A)$ 是助推对潜在结果的提升。

如果模型中设定：

那么年龄越大，助推在潜在结果尺度上的增量越大。收入 $I$ 只影响基线水平 $S(0)$，但不影响潜在结果上的处理增量：

所以，在潜在连续结果尺度上，结论非常清楚：

这个式子只依赖年龄 $A$，不依赖收入 $I$。因此，如果我们的目标是预测潜在连续结果上的处理效应，age 是好的个性化分组变量，而income 不是，其在不同分组里的处理效应都是一致的。

但在真实世界里，往往我们的业务通常不直接观察潜在结果 $S$，而是通过观察转化率。

我们假设二元转化结果可以看成对潜在结果做阈值化：

其中 $c$ 是转化阈值。只有当潜在结果超过阈值时，用户才会转化。虽然 $Y$ 与 $S$ 有直接关系，但这个关系不是线性的，而是一个阶跃函数：

但我们应该注意的是，“潜在结果增加多少”和“转化率增加多少”不是同一件事。

• 如果某个用户本来就远高于阈值，助推让他的潜在结果继续升高，但他无论如何都会转化，转化结果不变。（低敏感度）
• 如果某个用户远低于阈值，助推虽然提高了潜在结果，但仍然没有越过阈值，转化结果也不变。（低敏感度）
• 只有那些本来接近阈值、处理后可能越过阈值的人，才会贡献转化率上的处理效应。（高敏感度）

所以，转化率尺度上的处理效应关心的不是单纯的潜在结果提升，而是：

处理能使多少人跨越阈值？

处理的非交互项也可以影响到CATE

我们关心的是转化率上的CATE，从而识别高敏感度人群：

我们把二元转化的定义代入：

又因为：

所以：

也就是说，转化率上的处理效应，等于“基线潜在结果落在阈值下方一小段区间内”的概率。

这个区间是：（也可以通过转化为邻域的表达方式）

它的宽度由年龄决定，年龄越大，处理推动的距离越长。

但这个区间里到底有多少人，还取决于 $S(0)$ 的位置。而 $S(0)$ 的均值是：

这就意味着收入会通过移动基线潜在结果分布，改变这个区间中的概率质量。即使收入没有出现在潜在结果处理效应 $\delta(A)$ 里面，它也会出现在转化率处理效应 $\tau_Y(A,I)$ 里面。

换句话说，在潜在结果的概率上，助推的处理效应只依靠年龄：

但在转化率上，，有些东西变了，助推的处理效应变得不仅依靠年龄，还依靠基线时的影响水平：

它还取决于基线位置 $\alpha+\beta I$。所以，我们还是要清楚，我们的目的是什么？如果我们最后就通过年龄进行分组实施不同的助推作用，我们在最终策略上就会犯错了。

详细推理

为了看得更清楚，假设随机扰动服从正态分布：

令 $\Phi(\cdot)$ 表示标准正态分布函数。则没有处理时的转化概率是：

有处理时的转化概率是：

所以转化率上的 CATE 是：

这个式子已经说明了所有问题：

• 年龄 $A$ 通过 $\delta(A)$ 影响处理带来的潜在提升。
• 收入 $I$ 通过 $\alpha+\beta I-c$ 影响用户距离阈值的位置。
• 二者共同决定转化率上的处理效应。

因此，收入并不是在潜在连续结果尺度上改变了处理效应；收入是在二元转化率尺度上改变了处理效应。

小效应近似

上面的等式我们可以用泰勒展开得到一个非常有用的近似。

令：

则：

当处理带来的潜在提升不是特别大时，有：

其中 $\phi(\cdot)$ 是标准正态密度函数。

这个近似非常重要。它告诉我们：

具体来看每一项：

• 年龄影响第一项：潜在结果提升有多大。

• 收入影响第二项：当前个体处在转化曲线的哪个位置，那里的斜率有多大。

如果收入对基线转化概率的影响很强，那么 $\phi(u(I))$ 的变化可能比 $d(A)$ 的变化更大。这时，按收入分组就可能比按年龄分组更能区分转化率上的处理效应。

“潜在结果与转化率有直接关系”不等于“效应排序不变”

通常而言，潜在结果和转化率之间确实有直接关系。潜在结果越高，转化概率通常越高。

但这里真正要比较的是处理效应：

和：

非线性变换通常不会保持差值的排序。

如果 $Y=g(S)$，并且 $g$ 是线性的，例如：

那么：

此时处理效应排序只取决于 $\Delta$。谁的潜在提升大，谁的结果提升也大。

但二元转化率对应的是非线性函数。用平滑的逻辑函数近似时：

则：

当 $g(S)=0.5$ 时，导数最大；当 $g(S)$ 接近 0 或 1 时，导数接近 0。

所以，在二元转化问题中，最容易被处理改变的人通常不是基线概率最高的人，也不是基线概率最低的人，而是基线转化概率处在中间、接近决策边界的人。

例子

假设转化概率近似满足逻辑函数：

处理把潜在指数 $\eta$ 提高 1。考虑三类人：

三类人的潜在提升都一样，都是 1。但转化率提升完全不同。

这张表说明：

• 对极低基线转化率的人，处理后仍然很可能不转化。
• 对极高基线转化率的人，不处理也很可能转化。
• 对中间位置的人，处理最可能改变最终转化结果。

如果收入强烈决定 $\eta$ 的位置，那么收入自然会成为很强的转化率处理效应分组变量。

连续处理变量

前面讨论的是二元处理变量：处理只有 $T=0$ 和 $T=1$ 两种状态。因此我们可以直接定义：

然后问：哪个变量最能区分 $\tau(x)$？

但如果处理变量不是二元的，比如：

• 优惠券金额：0 元、5 元、10 元、20 元。
• 药物剂量：低剂量、中剂量、高剂量。
• 广告曝光次数：1 次、2 次、5 次、10 次。
• 商品价格：5 元、10 元、15 元、20 元。

这时就不能再把处理效应理解成一个简单的差值 $Y(1)-Y(0)$。因为每一个处理水平 $t$ 都对应一个潜在结果 $Y(t)$ ，此时，个体的处理效应是一条关于处理水平的函数。

我们还是像之前一样定义条件剂量反应函数：

其中：

• $t$ 是处理强度。
• $x$ 是个体特征。
• $\mu(t,x)$ 表示对特征为 $x$ 的个体施加处理水平 $t$ 时的期望结果。

所以，连续处理或多水平处理下的核心问题变成：

哪些变量能帮助我们理解或优化整条剂量反应曲线 $\mu(t,x)$？

非二元处理下，至少有三种常见目标。不同目标会对应不同的最佳个性化变量。

目标一：比较两个处理水平

如果问题是“把优惠券从 5 元提高到 20 元，对谁最有效”，那么我们关心的是：

更一般地，对于两个处理水平 $t_0$ 和 $t_1$，定义：

这时，好的个性化变量是能够区分这个差值的变量。

应该注意的是，这个变量不一定是“和处理显式交互”的变量（正如我们前面二分类处理变量提到的）。只要结果函数是非线性的，一个只影响基线水平的变量，也可能改变：

目标二：判断当前处理水平附近的边际效应

如果问题是“当前已经给了 10 元优惠券，再多给 1 元是否值得”，那么我们关心的不是两个相距很远的处理水平，而是当前处理水平附近的局部变化。

那么，此时我们的目标是边际处理效应：

它表示在处理水平 $t$ 附近，处理强度增加一个很小单位，会让结果变化多少。

这时，好的个性化变量是能够区分局部斜率 $\theta(t,x)$ 的变量。

如在之前的定价问题中，$t$ 可以表示价格，$Y$ 表示销量。我们关心的是：

如果某类用户的曲线更陡，说明他们对价格更敏感；如果曲线更平，说明他们对价格不敏感。

但是要注意：边际效应不仅取决于人群特征 $x$，也取决于当前处理水平 $t$。

目标三：直接选择最优处理水平

如果业务问题是“每个人应该给多少优惠券”，或者“每个人应该设定什么价格”，那么我们最终关心的是最优处理水平：

如果处理有成本，比如优惠券金额越高成本越高，就应该写成：

或者，如果结果 $Y$ 是收益，可以写成：

这时，好的个性化变量不是单纯让某个处理效应更大，而是能帮助我们改变最优决策 $t^*(x)$ 的变量。

举例来说，两个用户都可能因为 20 元优惠券而提高转化率，但如果一个用户用 5 元优惠券就能被打动，另一个用户必须用 20 元才行，那么最优策略显然不同。

因此，在最优剂量问题中，个性化变量的价值体现在 $t^*(x)$ 是否会随着这个变量发生变化。

从二元处理变量到连续处理变量

我们回到一开始二元变量的例子，我们说对于潜在结果而言，年龄是一个很好的个性化变量，但对于转化率来说，收入才是好的个性化变量，我们现在扩展到连续变量上：

假设潜在结果先由一个连续指数 $\eta(t,x)$ 决定，再经过一个非线性函数 $g(\cdot)$ 转成最终结果：

其中：

这里故意没有写处理和特征的交互项。也就是说，在潜在指数 $\eta$ 的尺度上，$x$ 只影响基线，$t$ 只影响处理强度。

如果 $g$ 是线性的，例如：

那么：

此时边际处理效应不依赖 $x$。也就是说，如果没有显式交互项，变量 $x$ 不会成为好的个性化变量。

但如果 $g$ 是非线性的，那么：

由于：

所以：

这说明，即使 $x$ 没有和 $t$ 显式交互，它也会通过 $f_0(x)$ 改变 $g'$ 所处的位置，从而改变边际处理效应。

这和前面二元处理变量如何影响 CATE 的逻辑完全一样：

变量可以不改变处理在潜在尺度上的作用，但它可以改变个体处在非线性曲线上的位置，从而改变最终结果尺度上的处理效应。

非线性处理变量

如果处理变量本身的作用也是非线性的，例如：

其中我们将处理变量换成二次函数：

那么处理的边际作用是：

这表示处理强度越高，边际作用可能越小，甚至可能变成负数。

同样的，我们还是使用非线性函数将潜在结果转化为我们的最终结果：

代入之后：

我们发现，现在影响的东西又变多了，这个式子里有两个来源会造成处理效应变化：

1. $a-2bt$：处理变量自身的边际作用会随着 $t$ 改变。
2. $g'(f_0(x)+f_T(t))$：个体在非线性结果函数上的位置会随着 $x$ 和 $t$ 改变。

所以，在非线性连续处理问题中，个性化变量的判断更加依赖当前位置。

同一个变量可能在低剂量区很重要，在高剂量区不重要；也可能在某个处理区间内区分度很强，在另一个区间内几乎没有区分度。

曲率与斜率

这点和二元变量不一样，如果处理变量是连续的，我们还需要关注曲率：

一阶导数告诉我们当前多给一点处理会带来多少变化；二阶导数告诉我们边际效应是在增加还是减少。

如果：

说明边际收益递减。比如优惠券金额越高，继续加钱带来的额外转化越来越少。

如果：

说明边际收益递增。比如某个药物剂量低于阈值时几乎无效，一旦超过某个剂量，效果快速增强。

如果曲率也随 $x$ 改变，那么个性化变量不仅影响“处理有没有效”，还影响“什么时候开始有效”和“什么时候开始饱和”。

这时，判断最佳个性化变量就不能只看某一个平均处理效应，而要看整条曲线形状是否随变量改变。

定价例子（连续处理变量但是线性）

假设处理变量是价格 $p$，结果是购买概率。某个用户群体的购买概率为：

其中 $g(\cdot)$ 是Logistics函数：

其中

• $\alpha(x)$ 表示基线购买倾向。
• $\beta(x)$ 表示价格敏感度。

价格的边际效应是：

跟我们上面分析的过程一样，最终的价格效应由两部分决定：

1. $\beta(x)$：这个群体本身是否价格敏感。
2. $g'(\alpha(x)-\beta(x)p)$：这个群体在当前价格下是否位于购买曲线最陡的位置。

所以，一个变量有两种方式成为好的个性化变量：

• 它改变 $\beta(x)$，也就是改变真实价格敏感度。
• 它改变 $\alpha(x)$，也就是改变基线购买倾向，使用户处在不同的曲线位置。

如果某个变量只是提高基线购买倾向 $\alpha(x)$，但不改变价格敏感度 $\beta(x)$，它仍然可能影响价格的边际效应。原因是基线购买倾向改变了用户在逻辑曲线上的位置。

优惠券例子（连续处理变量但是非线性）

假设处理变量是优惠券金额 $d$，结果是转化概率：

这里：

• $\alpha(x)$ 是基线转化倾向。
• $r(x)$ 是个体对优惠的敏感程度。
• $-bd^2$ 表示优惠券金额存在边际收益递减。

优惠券金额的边际效应是：

这个式子更加复杂，但我们仍然通过两部分进行观察：

1. $r(x)$ 大的人，其在两项里面均为正相关，对优惠更敏感。
2. $d$ 越大，只影响第二项，$r(x)-2bd$ 可能越小，说明加优惠的边际收益下降。
3. $\alpha(x)$ 只会影响第一项，其会通过 $g'$ 改变个体处在转化曲线的位置。

所以，判断谁应该拿更大优惠券时，不能只看 $r(x)$，也不能只看 $\alpha(x)$。真正要看的是：不能只看与优惠金额的交互项敏感度

也就是哪个优惠金额能带来最大的净收益。

三类异质性来源

二元处理通常只强调“斜率异质性”或“处理效应异质性”。但在连续处理中，基线、斜率和曲率都会影响最终决策。

交互性与异质性

在之前的线性模型中，我们习惯通过交互项判断异质性。例如：

这里如果 $\delta\ne 0$，就说明 $X$ 改变了处理效应。

但其实这个判断只在线性结果尺度上比较可靠。

如果真实模型是：

但我们即使没有 $TX$ 交互项，处理的边际效应是：

只要 $g'$ 不是常数，$X$ 也会改变处理的边际效应。

因此，在非线性模型中：

没有显式交互项，不代表没有处理效应异质性。

反过来也要小心：

有交互项，也不代表这个变量一定是最好的个性化变量。

因为另一个变量虽然不改变潜在尺度上的处理斜率，但可能强烈改变个体在非线性曲线上的位置，从而对最终决策更重要。